设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。求矩阵A的特征值；

admin2018-02-07 51

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃。
求矩阵A的特征值；

选项

答案由已知可得 A(α₁，α₂，α₃)=(α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*]，记P₁=(α₁，α₂，α₃)，B=[*]，则有AP₁=P₁B。由于α₁，α₂，α₃线性无关，即矩阵P₁可逆，所以P₁^－1AP₁=B，因此矩阵A与B相似，则｜λE—B｜=[*]=(λ一1)²(λ一4)，矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。

解析

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考研数学二

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设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，又α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(I)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．
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