2. 考研
  3. 已知A=，且A的行和相等。 A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

已知A=，且A的行和相等。 A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

admin2017-12-01  21
问题 已知A=，且A的行和相等。
A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。
选项
答案将a和b的值代入矩阵得 A=[*]， 可知A是实对称矩阵，故A一定可以相似对角化。 由｜λE一A｜=0可得 (λ+1)2(λ一5)=0， 解得λ=一1(二重根)和5。 由(一E一A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1，0，一1)T，(0，1，一1)T， 即特征值一1所对的两个线性无关的特征向量为 α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T。 又因矩阵A的行和为5，所以特征值5对应的一个特征向量为α3=(1，1，1)T。 将上述三个向量正交化，得 β1=(1，0，一1)T， β2=α2一[*]， β3=(1，1，1)T， 将其单位化即得正交矩阵 Q=[*]，且有QTAQ=[*]。
解析
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考研数学二

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