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设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222一223+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+222一223+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
admin
2015-09-14
58
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2
2
2
一2
2
3
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为一12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案
由A的特征多项式 [*] 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=一3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E—A)x=0,由 [*] 得基础解系 ξ
1
=(0,1,0)
T
,ξ
2
=(2,0,1)
T
。 对于λ
3
=一3,解齐次线性方程组(一3E一A)x=0,由 [*] 得基础解系 ξ
3
=(1,0,一2)
T
。 ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,将它们单位化,得 [*] 二次型f在正交变换x=py下的标准形为 f=2y
1
2
+2y
2
2
一3y
3
2
。
解析
对于n阶实对称矩阵A,求正交矩阵P,使P
-1
AP=P
T
AP为对角矩阵,就是求A的n个标准正交的特征向量(它们组成正交矩阵P的列向量组)。如果A的特征值都是单特征值,则由A的n个特征值求到的n个特征向量已经两两正交。如果A有量k
i
特征值λ
i
。则要求出属于λ
i
的k
i
个两两正交的特征向量,当方阵A的阶数n较小时,如果能由方程组(λ
i
E一A)x=0直接求出正交化的基础解系——即对应于特征值λ
i
的正交化的特征向量,这样就可免去施密特正交化过程。
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考研数学三
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