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设f(x)=∫—1xt|t| dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
设f(x)=∫—1xt|t| dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
admin
2017-01-21
48
问题
设f(x)=∫
—1
x
t|t| dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案
因为t|t|为奇函数,可知其原函数 f(x)=∫
—1
x
|t|dt=∫
—1
0
t|t|dt+∫
0
x
t|t|dt为偶函数,因此由f(—1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与x轴有交点(—1,0),(1,0)。 又由f’(x)=x|x|,可知x<0时,f’(x)<0,故f(x)单调减少,从而f(x)<f(—1)=0 (—1 <x≤0);当x>0时,f’(x)=x|x|>0,故x>0时f(x)单调增加,且y=f(x)与x轴有唯一交点(1,0)。 因此y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 [*]
解析
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考研数学三
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