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设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明： BTB是正定矩阵．
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明： BTB是正定矩阵．
admin
2014-02-06
48
问题
设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A
2
α线性无关，且A
3
α=3Aα一2A
2
α．证明：
B
T
B是正定矩阵．
选项
答案
因为(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B，故B
T
B是对称矩阵．又[*]x≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)>0，故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型，从而矩阵B
T
B是正定矩阵．
解析
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0
考研数学三
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