设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明： BTB是正定矩阵．

admin2014-02-06 59

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A³α=3Aα一2A²α．证明：
B^TB是正定矩阵．

选项

答案因为(B^TB)^T=B^T(B^T)^T=B^TB，故B^TB是对称矩阵．又[*]x≠0，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>0，故二次型x^T(B^TB)x是正定二次型，从而矩阵B^TB是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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