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设1≤a<b≤e,证明:函数f(x)=xln2x满足不等式 0<f(a)+f(b)-<(e一1)(b-a)
设1≤a<b≤e,证明:函数f(x)=xln2x满足不等式 0<f(a)+f(b)-<(e一1)(b-a)
admin
2014-12-17
72
问题
设1≤a<b≤e,证明:函数f(x)=xln
2
x满足不等式 0<f(a)+f(b)-
<(e一1)(b-a)
选项
答案
令g(x)=f(x)+f(a)-[*]显然g(a)=0.g’(x)=f’(x)一[*]由于f’(x)=ln
2
x+2lnx,f"(x)=[*](1+lnx)>0(x>a≥1),从而x>a≥1时,g’(x)>0,即当x>a≥1时g(x)单调增加,再由g(a)=0,则有g(b)>0,从而左端不等号得证.令h(x)=(e—1)(x一a)+2f[*]一f(x)-f(a),显然h(a)=0. [*] 因此h(x)为单调增加的函数,从而有h(b)>h(a)=0,即右端不等号得证.
解析
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考研数学三
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