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设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)m×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)m×n,证明矩阵B为正定矩阵。
设c1,c2,…,cn均为非零实常数,A=(aij)m×n为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(bij)m×n,证明矩阵B为正定矩阵。
admin
2015-09-14
105
问题
设c
1
,c
2
,…,c
n
均为非零实常数,A=(a
ij
)
m×n
为正定矩阵,令b
ij
=a
ij
c
i
c
j
(i,j=1,2,…,n),矩阵B=(b
ij
)
m×n
,证明矩阵B为正定矩阵。
选项
答案
令矩阵[*],则C可逆,注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A,等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列),于是有 [*] 即B与正定阵A合同,故B正定(事实上,[*]∈R
n
,x≠0,由C可逆知Cx≠0,再由A正定知(Q)
T
A(Cx)>0,即x
T
(C
T
AC)x=x
T
Bx>0,故B正定)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/TqU4777K
0
考研数学三
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