设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)m×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)m×n，证明矩阵B为正定矩阵。

admin2015-09-14 114

问题设c₁，c₂，…，c_n均为非零实常数，A=(a_ij)_m×n为正定矩阵，令b_ij=a_ijc_ic_j(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(b_ij)_m×n，证明矩阵B为正定矩阵。

选项

答案令矩阵[*]，则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是有 [*] 即B与正定阵A合同，故B正定(事实上，[*]∈Rⁿ，x≠0，由C可逆知Cx≠0，再由A正定知(Q)^TA(Cx)＞0，即x^T(C^TAC)x=x^TBx＞0，故B正定)。

解析

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