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  3. 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 当a=0时，求通项an；

数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。 当a=0时，求通项an；

admin2016-01-20  4
问题 数列{an}(n∈N*)中，a1=a，an+1是函数f(x)=(3an+n2)x2+3n2anx的极小值点。
当a=0时，求通项an；
选项
答案易知f’n(x)=x2-(3an+n2)x+3n2an=(x-3an)(x-n2)。令f’n(x)=0，得x1=3an，x2=n2。 ①若3an＜n2，则当x＜3an时，f’n(x)＞0，fn(x)单调递增； 当3an＜x＜n2时，f’n(x)＜0，fn(x)单调递减； 当x＞n2时，f’(x)＞0，fn(x)单调递增。 故fn(x)在x=n2处取得极小值。 ②若3an＞n2，仿①可得，fn(x)在x=3an处取得极小值。 ③若3an=n2，则f’n(x)≥0，fn(x)无极值。 当a=0时，a1=0，则3a1＜12，由①知，a2=12=1。 因3a2=3＜22，则由①知，a3=22=4。 因为3a3=12＞32，则由②知，a4=3a3=3×4。 又因为3a4=36＞42，则由②知，a5=3a4=32×4。 由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3。 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2。 事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立。 假设当n=k(k≥3)时，3ak＞k2成立，则由②可得，ak+1=3ak＞k2，从而3ak+1=(k+1)2＞3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1＞0，所以3ak+1＞(k+1)2。 故当n≥3时，3an＞n2成立。 于是由②知，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n-3。 综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3(n≥3)。
解析
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