设抛物线y＝aχ＋bχ＋c过原点，当0≤χ≤1时，y≥0，又已知该抛物线与χ轴及直线χ＝1所围图形的面积为，试确定a，b，c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

admin2016-03-16 55

问题设抛物线y＝aχ＋bχ＋c过原点，当0≤χ≤1时，y≥0，又已知该抛物线与χ轴及直线χ＝1所围图形的面积为

，试确定a，b，c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

选项

答案由题知曲线过点(0，0)，得c＝0，即y＝aχ²＋bχ．从χ→χ＋dχ的面积dS＝ydχ，所以 S＝∫₀¹ydχ＝∫₀¹(aχ²＋bχ)dχ＝[*] ＝[*] 由题知[*] 当y＝aχ²＋bχ绕χ轴旋转一周，旋转体积 V＝[*] b用a代人消去b，得 V＝[*] 令其等于0得唯一驻点a＝[*]在该处由负变正，此点为极小值点，故体积最小，这时b＝[*]，故所求函数y＝aχ²＋bχ＋c＝－[*]

解析

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考研数学二

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设抛物线y＝aχ＋bχ＋c过原点，当0≤χ≤1时，y≥0，又已知该抛物线与χ轴及直线χ＝1所围图形的面积为，试确定a，b，c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小．

考研数学二

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