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设抛物线y=aχ+bχ+c过原点,当0≤χ≤1时,y≥0,又已知该抛物线与χ轴及直线χ=1所围图形的面积为,试确定a,b,c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
设抛物线y=aχ+bχ+c过原点,当0≤χ≤1时,y≥0,又已知该抛物线与χ轴及直线χ=1所围图形的面积为,试确定a,b,c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
admin
2016-03-16
65
问题
设抛物线y=aχ+bχ+c过原点,当0≤χ≤1时,y≥0,又已知该抛物线与χ轴及直线χ=1所围图形的面积为
,试确定a,b,c使此图形绕χ轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.
选项
答案
由题知曲线过点(0,0),得c=0,即y=aχ
2
+bχ. 从χ→χ+dχ的面积dS=ydχ,所以 S=∫
0
1
ydχ=∫
0
1
(aχ
2
+bχ)dχ=[*] =[*] 由题知[*] 当y=aχ
2
+bχ绕χ轴旋转一周,旋转体积 V=[*] b用a代人消去b,得 V=[*] 令其等于0得唯一驻点a=[*]在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 这时b=[*],故所求函数y=aχ
2
+bχ+c=-[*]
解析
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0
考研数学二
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