2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1-α2+α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1-α2+α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-05-31  41
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α1-α2+α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0．求矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα3=0=0α3，知Aλ=0是A的特征值，α3是λ=0的特征向量． 由已知条件有 A(α1，α2，α3)=(α1-α2+3α3，4α1-3α2+5α3，0)，[*] 记P=(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3线性无关，故矩阵P可逆，因此有P-1AP=B，其中B=[*]，因此A～B． 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式 [*] 所以矩阵B，也即A的特征值为-1，-1，0． 对于矩阵B， [*] 所以矩阵B对应于特征值λ=-1的特征向量是β=(-2，1，1)T，若Bβ=λβ，则有(P-1AP)β=λβ，即A(Pβ)=λ(=β)，那么矩阵A关于特征值λ=-1的特征向量是 [*] 因此k1(-2α1+α2+α3)，k3α3分别是矩阵A关于特征值λ=-1和λ=0的特征向量(k1，k2≠0)．
解析
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考研数学三

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