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设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得fˊ(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得fˊˊ(η)=f(η
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得fˊ(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得fˊˊ(η)=f(η
admin
2016-09-13
26
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.
证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得fˊ(ξ)=f(ξ);
(2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得fˊˊ(η)=f(η).
选项
答案
(1)由加强型的积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 f(c)=[*]∫
a
b
f(x)dx=0. 设G(x)=e
-x
f(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G((c)=0,Gˊ(x)=e
-x
fˊ(x)-e
-x
f(x)=e
-x
[fˊ(x)-f(x)].由罗尔定理知,分别存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,b),使得Gˊ(ξ
1
)=Gˊ(ξ
2
)=0,从而fˊ(ξ
1
)=f(ξ
1
),fˊ(ξ
2
)=f(ξ
2
). (2)设F(x)=e
x
[fˊ(x)-f(x)],则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0, 则 Fˊ(x)=e
x
[fˊˊ(x)-fˊ(x)]+e
x
[fˊ(x)-f(x)]=e
x
[fˊˊ(x)-f(x)]. 对F(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,即存在η∈(ξ
1
,ξ
2
),使得Fˊ(η)=0,故有 fˊˊ(η)=f(η),且η≠ξ
i
(i=1,2).
解析
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0
考研数学三
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