设Q(x)=x3+px+q，且α+β满足方程组 (1)证明α+β是Q(x)=0的根； (2)写出以α3。和β2为根的一元二次方程。

admin2015-06-14 60

问题设Q(x)=x³+px+q，且α+β满足方程组

(1)证明α+β是Q(x)=0的根；
(2)写出以α³。和β²为根的一元二次方程。

选项

答案(1)因为α³+β³=-q，所以 (α+β)(α²-αβ+β²)=-q，(α+β)[(α+β)²-3αβ]=-q ∵3αβ=-p，∴(α+β)[(α+β)²+p]=-q∴(α+β)³+p(α+β)+q=0 又因为Q(x)=x³+px+q，所以α+β是Q(x)=0的根。 (2)以α³和β³为根的一元二次方程为(x-α³)(x-β³)=0。 ∴x²-(α³+β³)x+α³β³=0，所以方程为[*]

解析

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