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设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组的非零解向量,试判断向量组的线性相关性。
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组的非零解向量,试判断向量组的线性相关性。
admin
2015-07-10
78
问题
设α
i
=(a
i1
,a
i2
,…,a
in
)T(i=1,2,…r;r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关.已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组的线性相关性。
选项
答案
设存在一组数k
1
,k
2
,…,k
r
,l使得向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β满足 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0 ① 因为β为方程组的非零解,所以有 [*] 则β≠0,β
T
α
1
=0,…,β
T
α
r
=0。 用β
T
左乘①,并把β
T
α
i
=0代入,得lβ
T
β=0 因为β≠0,所以有β
T
β>0,所以l=0。 从而①式为k
1
α
1
+k
2
α
2
+…k
r
α
r
=0,由于α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,则k
1
=k
2
=…=k
r
=0。 因此向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/VFca777K
本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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