设F(x)=∫0xxf(x-t)dt,f(x)为连续函数,且f(0)=0,f’(x)>0,则y=F(x)在(0,+∞)内是( ).

admin2016-06-01  24

问题 设F(x)=∫0xxf(x-t)dt,f(x)为连续函数,且f(0)=0,f’(x)>0,则y=F(x)在(0,+∞)内是(    ).

选项 A、单调增加且为向下凹的
B、单调增加且为向上凸的
C、单调减少且为向下凹的
D、单调减少且为向上凸的

答案A

解析 设u=x—t,则F(x)=∫0xxf(x—t)dt=x∫0xf(u)du,故F’(x)=∫0xf(u)du+xf(x).
因为f’(x)>0,故f(x)单调增加.当x>0时,f(x)>f(0),此时F"(x)>0,故F(x)单调增加.
又F"(x)=2f(x)+xf’(x),因为f’(x)>0,f(x)>0,故F"(x)>0,则曲线y=F(x)为向下凹的.
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