设F(x)=∫0xxf(x-t)dt，f(x)为连续函数，且f(0)=0，f’(x)＞0，则y=F(x)在(0，+∞)内是( )．

admin2016-06-01 43

问题设F(x)=∫₀^xxf(x-t)dt，f(x)为连续函数，且f(0)=0，f’(x)＞0，则y=F(x)在(0，+∞)内是( )．

选项 A、单调增加且为向下凹的
B、单调增加且为向上凸的
C、单调减少且为向下凹的
D、单调减少且为向上凸的

答案A

解析设u=x—t，则F(x)=∫₀^xxf(x—t)dt=x∫₀^xf(u)du，故F’(x)=∫₀^xf(u)du+xf(x)．
因为f’(x)＞0，故f(x)单调增加．当x＞0时，f(x)＞f(0)，此时F"(x)＞0，故F(x)单调增加．
又F"(x)=2f(x)+xf’(x)，因为f’(x)＞0，f(x)＞0，故F"(x)＞0，则曲线y=F(x)为向下凹的．

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