2. 考研
  3. 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．证明：α，Aα线性无关；若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化．

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．证明：α，Aα线性无关；若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化．

admin2022-11-08  51
问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．证明：α，Aα线性无关；若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化．
选项
答案若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，显然k2≠0，所以Aα=-k1/k2α，与已知矛盾，所以α，Aα线性无关．由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜·｜2E-A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．
解析
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考研数学三

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