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设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.证明:α,Aα线性无关;若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化.
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.证明:α,Aα线性无关;若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化.
admin
2022-11-08
56
问题
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.证明:α,Aα线性无关;若A
2
α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化.
选项
答案
若α,Aα线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,使得k
1
α+k
2
Aα=0,显然k
2
≠0,所以Aα=-k
1
/k
2
α,与已知矛盾,所以α,Aα线性无关.由A
2
α+Aα-6α=0,得(A
2
+A-6E)α=0,因为α≠0,所以r(A
2
+A-6E)<2,从而|A
2
+A-6E|=0,即|3E+A|·|2E-A|=0,则|3E+A|=0或|2E-A|=0.若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)α=0,得(2E-A)α=0,即Aα=2α,矛盾;若|2E-A|≠0,则2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)α=0,得(3E+A)α=0,即Aα=-3α,矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值-3,2,故A可对角化.
解析
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考研数学三
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