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设函数f在区间I上连续，证明： 若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f在I上严格增．
设函数f在区间I上连续，证明： 若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f在I上严格增．
admin
2022-10-31
56
问题
设函数f在区间I上连续，证明：
若对任意两个有理数r
1
，r
2
，r
1
＜r
2
，有f(r
1
)＜f(r
2
)，则f在I上严格增．
选项
答案
设有两个实数．x
1
，x
2
∈I，由有理数的稠密性知，存在有理数r
1
，r
2
，使得r
1
，r
2
∈I．并且x
1
＜r
1
＜r
2
＜x
2
，因为f(x)在I上连续，所以f(x)在x
1
，x
2
两点连续．由r
1
＜r
2
可知，f(r
2
)＞f(r
1
)． 对于正数ε=[*]，存在δ＞0(不妨设δ＜min{r
1
-x
1
，x
2
-r
2
})，使得当x∈U
+
0
(x
1
；δ)时，｜f(x)-f(x
1
)｜＜ε，从而f(x
1
)＜f(x)+ε；而当x∈U
-
0
(x
2
；δ)时，｜f(x)-f(x
2
)｜＜ε，从而f(x
2
)＞f(x)-ε．存在有理数r’
1
∈U
+
0
(x
1
；δ)和r’
2
x∈U
-
0
(x
2
；δ)满足f(x
1
)＜f(r’
1
)+ε，f(x
2
)＞f(r’
2
)-ε．再由r’
1
＜r
1
＜r
2
＜r’
2
知， f(x
1
)＜f(r’
1
)+ε＜f(r
1
)+ε=[*]=f(r
2
)-ε＜f(r’
2
)-ε＜f(x
2
)． 故f在I上严格递增．
解析
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0
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