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  3. 设函数f在区间I上连续，证明： 若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f在I上严格增．

设函数f在区间I上连续，证明： 若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f在I上严格增．

admin2022-10-31  71
问题 设函数f在区间I上连续，证明：
若对任意两个有理数r1，r2，r1＜r2，有f(r1)＜f(r2)，则f在I上严格增．
选项
答案设有两个实数．x1，x2∈I，由有理数的稠密性知，存在有理数r1，r2，使得r1，r2∈I．并且x1＜r1＜r2＜x2，因为f(x)在I上连续，所以f(x)在x1，x2两点连续．由r1＜r2可知，f(r2)＞f(r1)． 对于正数ε=[*]，存在δ＞0(不妨设δ＜min{r1-x1，x2-r2})，使得当x∈U+0(x1；δ)时，｜f(x)-f(x1)｜＜ε，从而f(x1)＜f(x)+ε；而当x∈U-0(x2；δ)时，｜f(x)-f(x2)｜＜ε，从而f(x2)＞f(x)-ε．存在有理数r’1∈U+0(x1；δ)和r’2x∈U-0(x2；δ)满足f(x1)＜f(r’1)+ε，f(x2)＞f(r’2)-ε．再由r’1＜r1＜r2＜r’2知， f(x1)＜f(r’1)+ε＜f(r1)+ε=[*]=f(r2)-ε＜f(r’2)-ε＜f(x2)． 故f在I上严格递增．
解析
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考研数学三

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