设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．

admin2015-07-10 27

问题设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜e^x(x＞0)．

选项

答案令φ(x)=e^-xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜e^x(x＞0)．

解析

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