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  3. 下面是快速排序的伪代码，请填补其中的空缺；伪代码中的主要变量说明如下。 A：待排序数组 p，r: 数组元素下标，从p到r q: 划分的位置 x：枢轴元素 i：整型变量，用于描述数组下标。下标小于或等于i的元素的值小于或等于枢轴

下面是快速排序的伪代码，请填补其中的空缺；伪代码中的主要变量说明如下。 A：待排序数组 p，r: 数组元素下标，从p到r q: 划分的位置 x：枢轴元素 i：整型变量，用于描述数组下标。下标小于或等于i的元素的值小于或等于枢轴

admin2009-01-10  89
问题 下面是快速排序的伪代码，请填补其中的空缺；伪代码中的主要变量说明如下。
   A：待排序数组
   p，r: 数组元素下标，从p到r
   q: 划分的位置
   x：枢轴元素
   i：整型变量，用于描述数组下标。下标小于或等于i的元素的值小于或等于枢轴元素的值
   j：循环控制变量，表示数组元素下标
   QUICKSORT (A，p，r){
       if  (p ＜r){
           q=PARTITION(A，p，r) ；
           QUICKSORT(A，p，q-1)；
           QUICKSORT(A，q+1，r)；
       }
   }
   PARTITION(A，p，r){
       x=A[r]；i=p-1；
       for(j=p；j≤r-1；j++){
           if  (A[j]≤x){
               i=i+1；
               交换A和A[j]
       }
       }
       交(1)和(2)//注：空(1)和空(2)答案可互换，但两空全部答对方可得分 return  (3)  
   }

(1)待排序数组是否能被较均匀地划分对快速排序的性能有重要影响，因此枢轴元素的选取非常重要。有人提出从待排序的数组元素中随机地取出一个元素作为枢轴元素，下面是随机化快速排序划分的伪代码——利用原有的快速排序的划分操作，请填充其中的空缺处。其中，RANDOM(i，j)表示随机取i到j之间的一个数，包括i和j。
   RANDOMIZED- PARTITION(A，p，r){
      i=RANDOM(p，rl)；
      交换(8)和(9)；//注：空(8)和空(9)答案可互换，但两空全部答对方可得分
   return PARTITION (A，p，r)；
   }
(2)随机化快速排序是否能够消除最坏情况的发生?(10)。(是或否)
选项
答案(8)A[i] (9)A[r] (10)否 注；空(8)和空(9)答案可以互换
解析 本题考查算法的设计与分析技术。
   问题1考查快速排序算法的伪代码，快速排序最核心的处理是进行划分，即 PARTITION操作，根据枢轴元素的值，把一个较大的数组分成两个较小的子数组，一个子数组的所有元素的值小于等于枢轴元素的值，一个子数组的所有元素的值大于枢轴元素的值，而子数组内的元素不排序。划分时，以最后一个元素为枢轴元素，从左到右依次访问数组的每一个元素，判断其与枢轴元素的大小关系，并进行元素的交换，如图4-1所示：
      
   在问题1给出的伪代码中，当循环结束后，A[p..i]中的值应小于等于枢轴元素值x，而A[i+1..r-1]中的值应大于枢轴元素值x。此时A[i+1)是第一个比A[r]大的元素，因此 A闭与A[i+1]交换，得到划分后的两个子数组。PARTITION操作返回枢轴元素的位置，因此返回值为i+1。
   问题2考查的是快速排序算法的时间复杂度分析。当每次能作均匀划分时，算法为最佳情况，此时时间复杂度可以通过计算递归式T(n)=2T(n/2)+O(n)，得到时间复杂度为O(nlgn)：当每次为极端不均匀划分时，即长度为n的数组划分后一个子数组为n-1，一个为0，算法为最坏情况，此时时间复杂度可以通过计算递归式T(n)=T(n-1)+O(n)，得到时间复杂度为O(n2)；平均情况的分析较为复杂，我们可以假设数组每次划分为 9/10：1/10，此时时间复杂度可以通过计算递归式T(n)=T(9/10)+T(1/10)+O(n)，得到时间复杂度为O(nlgn)，因此在平均情况下快速排序仍然有较好的性能，时间复杂度为 O(nlgn)。当所有的n个元素具有相同的值时，可以认为数组已经有序，此时每次都划分为长度为n-1和0的两个子数组，属于最坏情况。
   问题3中，由于随机化的快速排序的划分调用了传统的快速排序算法的PARTITION操作，而传统的划分每次以数组的最后一个元素作为枢轴元素，因此，随机化的划分操作中每次先随机获得一个元素，将其与最后一个元素交换。随机化的快速排序消除了输入数据的不同排列对算法性能的影响，降低了极端不均匀划分的概率，但不能保证不会导致最坏情况的发生。
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