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已知数列{an}满足a1=a,an+1=+1+(n∈N*) 当a取不同值时,得到不同数列,例如当a=1时,得无穷数列; 当时,得有穷数列,-1,0。 设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=(n∈N*) ①当a=bi(i=1,2,3)时数列{an}各是有
已知数列{an}满足a1=a,an+1=+1+(n∈N*) 当a取不同值时,得到不同数列,例如当a=1时,得无穷数列; 当时,得有穷数列,-1,0。 设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=(n∈N*) ①当a=bi(i=1,2,3)时数列{an}各是有
admin
2015-12-09
13
问题
已知数列{a
n
}满足a
1
=a,a
n+1
=+1+
(n∈N
*
)
当a取不同值时,得到不同数列,例如当a=1时,得无穷数列
;
当
时,得有穷数列
,-1,0。
设数列{b
n
}满足b
1
=-1,b
n+1
=
(n∈N
*
)
①当a=b
i
(i=1,2,3)时数列{a
n
}各是有穷数列还是无穷数列;
②当a=b
n
(n∈N
*
)时,猜想数列{a
n
}都为有穷数列并给予证明。
选项
答案
①当i=1时,a=-1,数列{a
n
}中a
1
=-1,a
2
=0,a
3
无意义,所以为有穷数列。 当i=2时,[*],a
2
=-1,a
3
=0,a
4
无意义,所以为有穷数列。 当i=3时,[*],a
3
=-1,a
4
=0,a
5
无意义,所以为有穷数列。 ②用数学归纳法。由①知n=1,2,3时数列{a
n
}都为有穷数列。设a=b
n
时结论成立,则当a=b
n+1
时,a
1
=a=b
n+1
,a
2
=1+[*]=b
n
。设数列{c
n
},c
1
=a
2
=b
n
,c
n+1
=1+[*],由假设知{c
n
}为有穷数列,则{a
1
,c
1
,c
2
,c
3
,…,c
n
}是有穷数列。即a=b
n+1
时结论也成立。由数学归纳法原理知,猜想成立。
解析
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