2. 公务员
  3. 已知数列{an}满足a1=a，an+1=+1+(n∈N*) 当a取不同值时，得到不同数列，例如当a=1时，得无穷数列； 当时，得有穷数列，-1，0。 设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=(n∈N*) ①当a=bi(i=1，2，3)时数列{an}各是有

已知数列{an}满足a1=a，an+1=+1+(n∈N*) 当a取不同值时，得到不同数列，例如当a=1时，得无穷数列； 当时，得有穷数列，-1，0。 设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=(n∈N*) ①当a=bi(i=1，2，3)时数列{an}各是有

admin2015-12-09  13
问题 已知数列{an}满足a1=a，an+1=+1+(n∈N*)
当a取不同值时，得到不同数列，例如当a=1时，得无穷数列；
当时，得有穷数列，-1，0。
设数列{bn}满足b1=-1，bn+1=(n∈N*)
①当a=bi(i=1，2，3)时数列{an}各是有穷数列还是无穷数列；
②当a=bn(n∈N*)时，猜想数列{an}都为有穷数列并给予证明。
选项
答案①当i=1时，a=-1，数列{an}中a1=-1，a2=0，a3无意义，所以为有穷数列。 当i=2时，[*]，a2=-1，a3=0，a4无意义，所以为有穷数列。 当i=3时，[*]，a3=-1，a4=0，a5无意义，所以为有穷数列。 ②用数学归纳法。由①知n=1，2，3时数列{an}都为有穷数列。设a=bn时结论成立，则当a=bn+1时，a1=a=bn+1，a2=1+[*]=bn。设数列{cn}，c1=a2=bn，cn+1=1+[*]，由假设知{cn}为有穷数列，则｛a1，c1，c2，c3，…，cn}是有穷数列。即a=bn+1时结论也成立。由数学归纳法原理知，猜想成立。
解析
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