首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
admin
2016-01-25
73
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α,证明:
(Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A
4
α]可逆;
(Ⅱ)B
T
B为正定矩阵.
选项
答案
(1)证一 由A
3
α=3Aα一2A
2
α得到 A
4
α=A.A
3
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=一6Aα+7A
2
α, 则 [α,Aα,A
4
α]=[α,Aα,A
2
α][*]=[α,Aα,A
2
α]G. 因|G|=[*]=7≠0,α,Aα,A
2
α线性无关,故α,Aα,A
4
α线性无关,所以矩阵B可逆. 证二 设k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0,即 k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0, 亦即 k
1
α+(k
2
-6k
2
)Aα+7k
3
A
2
α=0. 因α,Aα,A
4
α线性无关,故 k
1
=0, k
2
=6k
3
=0, 7k
3
=0, 即 k
1
=k
2
=k
3
=0, 所以α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆. (2)因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B为实对称矩阵. 又对任意x≠0,因B可逆,有BX≠0,于是有 X
T
(B
T
B)X=(BX)
T
(BX)>0, 故二次型X
T
B
T
BX是正定二次型,从而B
T
B为正定矩阵.
解析
(1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之.为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积,也可利用向量组α,Aα,A
2
α线性无关的性质用定义证明.
(2)用定义证明X
T
B
T
BX为正定二次型.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WKU4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
生产力是人类社会生活和全部历史的基础,具有复杂的系统结构。下列关于生产力的说法,正确的是
列宁认为:“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践,这就是认识真理、认识客观实在的辩证途径。”认识的过程首先是从实践到认识的过程,在这个过程中
生态文明建设是指人类在利用和改造自然的过程中,主动保护自然,积极改善和优化人与自然的关系,建设健康有序的生态运行机制和良好的生态环境。生态文明的核心是
中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平4月8日给武汉市东湖新城社区全体社区工作者回信,再次肯定城乡广大社区工作者在疫情防控斗争中发挥的重要作用,向他们致以诚挚的慰问,并勉励他们为彻底打赢疫情防控人民战争、总体战、阻击战再立新功。 习近平在回信中说
材料1 (1)没收一切土地归苏维埃政府所有,分配农民个别耕种。(2)一切土地,经苏维埃政府没收并分配后,禁止买卖。(3)分配土地后,除老幼疾病没有耕种能力及服务与公众勤务这以外,其余的人必须强制劳动。(4)以人口为标准分配土地。男女老幼平均分配。(5)
一批产品共有a十b个,其中a个正品,b个次品.今采用不放回抽样n次,问抽到的n个产品里恰有k个是正品的概率是多少?
设向量组α1,α2,…,αm线性无关,向量β1可用它们线性表示,β2不能用它们线性表示,证明向量组α1,α2,…,αm,λβ1+β2(λ为常数)线性无关.
设f(x)是处处可导的奇函数,证明:对任-b>0,总存在c∈(-b,b)使得fˊ(c)=f(b)/b.
求直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程.
讨论函数在点x=0处的连续性.
随机试题
冷却水最好选用软水,即含盐分少的水,如雨水、雪水、自来水等。()
关于脑室引流术的护理正确的是()
可出现阵发性痉咳伴鸡鸣样回声的疾病是
Addison病最具特征性的表现是
A.X线检查B.数字化减影血管造影C.超声检查D.CT检查E.MRI检查诊断心脏和大血管病变最常用的检查方法是
男性,40岁,胸痛、反酸、烧心、嗳气2个月,胃镜检查食管黏膜未见明显异常。最有助于明确诊断的检查是
申请房地产开发类贷款的条件有()。
下列各项不属于民营企业组织形式的是()。
甲公司是一家煤矿企业,适用的增值税税率为13%。2×20年发生下列经济业务:(1)依据开采的原煤产量按月提取安全生产费,提取标准为每吨15元,假定每月原煤产量为10万吨。2×20年4月5日,经有关部门批准,该企业购入一批需要安装的用于改造和完善矿井运输的
中国经济的高速发展首先保证了居民获得幸福的物质因素。城乡居民收入稳步提升,居民身体素质、寿命都得到提高。在市场经济体制中,物质资源极大丰富,人们可以发挥自己的能动性,来获得最大的物质享受。城乡社会消费品零售总额稳步提升,说明居民的生活水平在提高,这些都是人
最新回复
(
0
)