2. 考研
  3. 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，证明： (Ⅰ)矩阵B＝[α，Aα，A4α]可逆； (Ⅱ)BTB为正定矩阵．

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，证明： (Ⅰ)矩阵B＝[α，Aα，A4α]可逆； (Ⅱ)BTB为正定矩阵．

admin2016-01-25  79
问题 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，证明：
(Ⅰ)矩阵B＝[α，Aα，A4α]可逆；
(Ⅱ)BTB为正定矩阵．
选项
答案(1)证一 由A3α＝3Aα一2A2α得到 A4α＝A.A3α＝3A2α一2A3α＝3A2α一2(3Aα一2A2α)＝一6Aα＋7A2α， 则 [α，Aα，A4α]＝[α，Aα，A2α][*]＝[α，Aα，A2α]G． 因｜G｜＝[*]＝7≠0，α，Aα，A2α线性无关，故α，Aα，A4α线性无关，所以矩阵B可逆． 证二 设k1α＋k2Aα＋k3A4α＝0，即 k1α＋k2Aα＋k3(7A2α一6Aα)＝0， 亦即 k1α＋(k2－6k2)Aα＋7k3A2α＝0． 因α，Aα，A4α线性无关，故 k1＝0， k2＝6k3＝0， 7k3＝0， 即 k1＝k2＝k3＝0， 所以α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆． (2)因(BTB)T＝BT(BT)T＝BTB，故BTB为实对称矩阵． 又对任意x≠0，因B可逆，有BX≠0，于是有 XT(BTB)X＝(BX)T(BX)＞0， 故二次型XTBTBX是正定二次型，从而BTB为正定矩阵．
解析 (1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之．为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积，也可利用向量组α，Aα，A2α线性无关的性质用定义证明．
(2)用定义证明XTBTBX为正定二次型．
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考研数学三

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