正项级数∑n=1∞an的部分和数列｛Sn｝(Sn=∑k=1∞ak)有上界是该级数收敛的：

admin2017-06-16 31

问题正项级数∑_n=1^∞a_n的部分和数列｛S_n｝(S_n=∑_k=1^∞a_k)有上界是该级数收敛的：

选项 A、充分必要条件
B、充分条件而非必要条件
C、必要条件而非充分条件
D、既非充分又非必要条件

答案A

解析由于μ_n≥0，n=1，2，3，…，因此，S_n＋1=S_n＋μ_n＋1≥S_n，所以正项级数的部分和数列｛s_n｝是单调增加数列，即S₁≤s₂≤…≤S_n≤…若｛S_n｝有上界，则由“单调有界数列必有极限”知，该正项级数必收敛。反之，若正项级数收敛于s，即

s_n=s，则数列｛s_n｝必有上界，从而得到如下重要结论：预备定理正项级数

μ_n收敛的充要条件是其部分和数列｛s_n｝有上界。

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