已知A，B为三阶方阵，且满足2A－1B=B－4E。其中E是三阶单位矩阵。 (1)证明：矩阵A－2E可逆； (2)若B=，求矩阵A。

admin2017-12-11 79

问题已知A，B为三阶方阵，且满足2A^－1B=B－4E。其中E是三阶单位矩阵。
(1)证明：矩阵A－2E可逆；
(2)若B=

，求矩阵A。

选项

答案(1)在等式2A^－1B=B－4E两边同时左乘A可得2B=AB－4A，移项可得AB－2B－4A=0，提取公因式可得(A－2E)B－4A=0，等式两边同时加上晒得(A－2E)B－4(A－2E)=8E，再提取公因式可得(A－2E)(B－4E)=8E，也即[*]=E。从而A－2E可逆并且(A－2E)^－1=[*]。 (2)由(A－2E)(B－4E)=8E可得A－2E=8(B－4E)^－1。 [*]

解析

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