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在求直线l与平面Ⅱ的交点时,可将l的参数方程x=xo+mt,y=yo+nt,z=zo+pt代入Ⅱ的方程Ax+By+Cz+D=0,求出相应的t值.试问什么条件下,t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明.
在求直线l与平面Ⅱ的交点时,可将l的参数方程x=xo+mt,y=yo+nt,z=zo+pt代入Ⅱ的方程Ax+By+Cz+D=0,求出相应的t值.试问什么条件下,t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明.
admin
2011-11-19
139
问题
在求直线l与平面Ⅱ的交点时,可将l的参数方程x=x
o
+mt,y=y
o
+nt,z=z
o
+pt代入Ⅱ的方程Ax+By+Cz+D=0,求出相应的t值.试问什么条件下,t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明.
选项
答案
将直线l的参数方程代入平面Ⅱ的方程,得A(x
o
+mt)+B(y
o
+nt)+C(z
o
+pt)+D=0 整理得:(Am+Bn+Cp)t+(Ax
o
+By
o
+Cz
o
+D)=0 若Am+Bn+Cp=0,且Ax
o
+By
o
+Cz
o
+D≠0时,t无解,从几何上说明就是当直线的方向向量(m,n,p)与平面的法向向量(A,B,C)垂直,但直线上的注意一点(x
o
,y
o
,z
o
)不在平面上时,则此直线与平面无交点; 若Am+Bn+Cp≠0,则t有唯一解,从几何上说明就是当直线与平面不平行时,则二者有一个公共点; 若Am+Bn+Cp=0且Ax
o
+By
o
+Cz
o
+D=0时,t有无穷多个解,即当直线平行于平面且直线与平面有公共点(x
o
,y
o
,z
o
)时,则此直线在平面上,二者有无穷多个公共点,即t有无穷多个解.
解析
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考研数学三
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