设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记 若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

admin2013-05-15  43

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 ,


若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

选项

答案记A=2ααT +ββT ,由于α,β正交,则有αTβ=βTα=0,又α,β为单位向量,则‖α‖=1,于是αTα=1,同理βTβ=1。 因为r(A)=r(2ααT +ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2<3,所以,|A|=0,故0是A的特征值。 因为Aα=(2ααT +ββT)α=2α,所以2是A的特征值。 因为Aβ=(2ααT +ββT)β=β,所以1是A的特征值。 于是A的特征值为2,1,0。 因此f在正交变换下可化为标准行2y12+y22

解析
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