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(2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码,回答问题1至问题3,将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,计算量主要由进
(2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码,回答问题1至问题3,将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,计算量主要由进
admin
2018-07-27
24
问题
(2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码,回答问题1至问题3,将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】
某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。
两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法,计算A
m×n
*B
n×p
,需要m*n*p次乘法运算。
矩阵相乘满足结合律,多个矩阵相乘,不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A1
10×100
,A2
100×5
,A3
5×50
三个矩阵相乘为例,若按(A1*A2)*A3计算,则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算;若按A1*(A2*A3)计算,则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
矩阵链乘问题可描述为:给定n个矩阵<A
1
,A
2
,…,A
n
>,矩阵Ai的维数为p
i-1
×p
i
,其中i=1,2,…,n。确定一种乘法顺序,使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
由于可能的计算顺序数量非常庞大,对较大的n,用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析,发现矩阵链乘问题具有最优子结构,即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开,即分为A1*A2*…*Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题,则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…*An的一个最优计算顺序。据此构造递归式
式中,cost
[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量,然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、……、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的C语言实现。
(1)主要变量说明
n:矩阵数
seq[]:矩阵维数序列
cost[][]:二维数组,长度为n*n,其中元素cost
[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价
trace[][]:二维数组,长度为n*n,其中元素trace
[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算对应的划分位置,即k
(2)函数cmm
#define N 100
int cost[N][N];
int trace[N][N];
int cmm(int n,int seq[]){
int tempCost;
int tempTrace;
int i,j,k,p;
int temp;
for(i=0;i<n;i++){ cost
=0; }
for(p=1;p<n;p++){
for(i=0;_______(1);i++){
_____(2);
tempCost=-1;
for(k=i;k<j;k++){
temp=______(3);
if(tempCost==-1 ||tempCost>temp){
tempCost=temp;
_______(4);
}
}
cost
[j]=tempCost;
trace
[j]=tempTrace;
}
}
return cost[0][n-1];
}
根据以上说明和C代码,该问题采用了_____(5)算法设计策略,时间复杂度为____(6)(用O符号表示)。
选项
答案
(5)动态规划 (6)O(n
3
)
解析
求min(cost
[k]+cost[k+1][j]+P
i
*P
k-1
*P
j
)要做p次比较(k=i,i+1,…,j,而j=i+p);而第3层的循环(for(k=i;k<j;k++))要做n-p次,故该循环执行完毕要做p+n-p=n次比较。第2层的循环for(i=0;i<n.p;i++)从1做到n-1,第1层的循环for(i=0;i<n;++)从1做到n-1。故循环执行完毕要做O(n
3
)比较,此即该算法的时间复杂度。
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软件设计师下午应用技术考试题库软考中级分类
0
软件设计师下午应用技术考试
软考中级
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