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  3. (2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进

(2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进

admin2018-07-27  51
问题 (2013年下半年下午试题四)阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。
    【说明】
    某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。
    两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am×n*Bn×p，需要m*n*p次乘法运算。
    矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100，A2100×5，A35×50三个矩阵相乘为例，若按(A1*A2)*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按A1*(A2*A3)计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
    矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵＜A1，A2，…，An＞，矩阵Ai的维数为pi-1×pi，其中i=1，2，…，n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
    由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*…*Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题，则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…*An的一个最优计算顺序。据此构造递归式

式中，cost[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
    【C代码】
    算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、……、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的C语言实现。
  (1)主要变量说明
  n：矩阵数
    seq[]：矩阵维数序列
    cost[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素cost[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价
    trace[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素trace[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k
    (2)函数cmm
#define N  100
int cost[N][N]；
  int trace[N][N]；
  int cmm(int n，int seq[]){
    int tempCost；
    int tempTrace；
    int i，j，k，p；
    int temp；
    for(i=0；i＜n；i++){  cost=0； }
    for(p=1；p＜n；p++){
    for(i=0；_______(1)；i++){
    _____(2)；
    tempCost=-1；
    for(k=i；k＜j；k++){
    temp=______(3)；
    if(tempCost==-1 ｜｜tempCost＞temp){
    tempCost=temp；
    _______(4)；
    }
    }
    cost[j]=tempCost；
    trace[j]=tempTrace；
    }
    }
    return cost[0][n-1]；
  }
根据以上说明和C代码，该问题采用了_____(5)算法设计策略，时间复杂度为____(6)(用O符号表示)。
选项
答案(5)动态规划 (6)O(n3)
解析 求min(cost[k]+cost[k+1][j]+Pi*Pk-1*Pj)要做p次比较(k=i，i+1，…，j，而j=i+p)；而第3层的循环(for(k=i；k＜j；k++))要做n-p次，故该循环执行完毕要做p+n-p=n次比较。第2层的循环for(i=0；i＜n．p；i++)从1做到n-1，第1层的循环for(i=0；i＜n;++)从1做到n-1。故循环执行完毕要做O(n3)比较，此即该算法的时间复杂度。
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