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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系．
admin
2016-05-31
45
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
，β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
，…，β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
其中t
1
，t
2
为实常数．试问t
1
，t
2
满足什么条件时，β
1
，β
2
，…，β
s
也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案
因为β
i
(i=1，2，…，s)是α
1
，α
2
，…，α
s
的线性组合，且α
1
，α
2
，…，α
s
是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β
i
(i=1，2，…，S)均为Ax=0的解． 由α
1
，α
2
，…，α
s
是Ax=0的基础解系，知s=n-r(A)． 以下分析β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关的条件： 设k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0，即 (t
1
k
1
+t
2
k
s
)α
1
+(t
2
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+(t
2
k
2
+t
1
k
3
)α
3
+…+(t
2
k
s-1
+t
1
k
s
)α
s
=0， 由于α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，因此有 [*] 又因系数行列式 [*] 当[*]时，方程组(*)只有零解k
1
=k
2
=…=k
s
=0． 因此当s为偶数，t
1
≠±t
2
，或当s为奇数，t
1
≠-t
2
时，β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关．
解析
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0
考研数学三
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