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(Ⅰ)设f(x)是连续函数,并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C,又F(x)是f(x)的原函数,且F(0)=0,则F(x)=________; (Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫01xf(x)dx,则f(x)=_________
(Ⅰ)设f(x)是连续函数,并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C,又F(x)是f(x)的原函数,且F(0)=0,则F(x)=________; (Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫01xf(x)dx,则f(x)=_________
admin
2017-10-23
52
问题
(Ⅰ)设f(x)是连续函数,并满足∫f(x)sinxdx=cos
2
x+C,又F(x)是f(x)的原函数,且F(0)=0,则F(x)=________;
(Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫
0
1
xf(x)dx,则f(x)=_________.
选项
答案
(Ⅰ)一2sinx; (Ⅱ)x+[*]
解析
(Ⅰ)按题意F(x)=∫
0
x
f(t)dt.为求f(x),将题设等式求导得
f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos
2
x+C)’=一2sinxcosx,
从而f(x)=一2cosx,于是
F(x)=∫
0
x
f(t)dt=∫
0
x
一2costdt=一2sinx.
(Ⅱ)定积分是积分和的极限,当被积函数与积分区间确定后,它就是一个确定的数.从而由题设知
可令∫
0
1
xf(x)dx=A,只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式.为此将题设等式两端同乘x并从0到1求定积分,就有
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0
考研数学三
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