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设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
admin
2016-10-20
45
问题
设α，β为3维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
选项
答案
1°(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤r(α)+r(β)． 又α，β均为3维列向量，则．r(α)≤l，r(β)≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)当α，β线性相关时，不妨设α=ka，则 r(A)=r(αα
T
+k
2
αα
T
)=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤r(α)≤1＜2． 2°(Ⅰ)因为α，β均为3维列向量，故存在非零列向量X与α，β均正交，即 α
T
x=0，β
T
x=0． 从而 αα
T
x=0， ββ
T
x=0，进而(αα
T
+ββ
T
)x=0． 即齐次方程组Ax=0有非0解，故r(A)≤2． (Ⅱ)因为齐次方程组α
T
x=0有2个线性无关的解，设为η
1
，η
2
，那么 α
T
η
1
=0， α
T
η
2
=0． 若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β
T
η
1
=(kα)
T
η
1
=kα
T
η
1
=0， β
T
η
2
=(kα)
T
η
2
=kα
T
η
2
=0． 于是 Aη
1
=(αα
T
+ββ
T
)η
1
=0， Aη
2
=(αα
T
+ββ
T
)η
2
=0， 即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n-r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aeT4777K
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考研数学三
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