2. 考研
  3. 设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2016-10-20  57
问题 设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明：
    (Ⅰ)秩r(A)≤2；
    (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．
选项
答案1°(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)． 又α，β均为3维列向量，则．r(α)≤l，r(β)≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)当α，β线性相关时，不妨设α=ka，则 r(A)=r(ααT+k2ααT)=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤r(α)≤1＜2． 2°(Ⅰ)因为α，β均为3维列向量，故存在非零列向量X与α，β均正交，即 αTx=0，βTx=0． 从而 ααTx=0， ββTx=0，进而(ααT+ββT)x=0． 即齐次方程组Ax=0有非0解，故r(A)≤2． (Ⅱ)因为齐次方程组αTx=0有2个线性无关的解，设为η1，η2，那么 αTη1=0， αTη2=0． 若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 βTη1=(kα)Tη1=kαTη1=0， βTη2=(kα)Tη2=kαTη2=0． 于是 Aη1=(ααT+ββT)η1=0， Aη2=(ααT+ββT)η2=0， 即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n-r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．
解析
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考研数学三

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