设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2016-10-20 66

问题设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

选项

答案1°(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)．又α，β均为3维列向量，则．r(α)≤l，r(β)≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)当α，β线性相关时，不妨设α=ka，则 r(A)=r(αα^T+k²αα^T)=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤r(α)≤1＜2． 2°(Ⅰ)因为α，β均为3维列向量，故存在非零列向量X与α，β均正交，即 α^Tx=0，β^Tx=0．从而 αα^Tx=0， ββ^Tx=0，进而(αα^T+ββ^T)x=0．即齐次方程组Ax=0有非0解，故r(A)≤2． (Ⅱ)因为齐次方程组α^Tx=0有2个线性无关的解，设为η₁，η₂，那么 α_Tη₁=0， α_Tη₂=0．若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β_Tη₁=(kα)_Tη₁=kα_Tη₁=0， β_Tη₂=(kα)_Tη₂=kα_Tη₂=0．于是 Aη₁=(αα^T+ββ^T)η₁=0， Aη₂=(αα^T+ββ^T)η₂=0，即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n-r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．

解析

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考研数学三

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