设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

admin2016-10-20 50

问题设α，β为3维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置，证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

选项

答案1°(Ⅰ)利用r(A+B)≤r(A)+r(B)和r(AB)≤min(r(A)，r(B))，有 r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤r(α)+r(β)．又α，β均为3维列向量，则．r(α)≤l，r(β)≤1．故r(A)≤2． (Ⅱ)当α，β线性相关时，不妨设α=ka，则 r(A)=r(αα^T+k²αα^T)=r[(1+k²)αα^T]=r(αα^T)≤r(α)≤1＜2． 2°(Ⅰ)因为α，β均为3维列向量，故存在非零列向量X与α，β均正交，即 α^Tx=0，β^Tx=0．从而 αα^Tx=0， ββ^Tx=0，进而(αα^T+ββ^T)x=0．即齐次方程组Ax=0有非0解，故r(A)≤2． (Ⅱ)因为齐次方程组α^Tx=0有2个线性无关的解，设为η₁，η₂，那么 α_Tη₁=0， α_Tη₂=0．若α，β线性相关，不妨设β=kα，那么 β_Tη₁=(kα)_Tη₁=kα_Tη₁=0， β_Tη₂=(kα)_Tη₂=kα_Tη₂=0．于是 Aη₁=(αα^T+ββ^T)η₁=0， Aη₂=(αα^T+ββ^T)η₂=0，即Ax=0至少有2个线性无关的解，因此n-r(A)≥2，即r(A)≤1＜2．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aeT4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设α，β为3维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别是α，β的转置，证明： (Ⅰ)秩r(A)≤2； (Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)＜2．

考研数学三

设α1，α2，…，αm-1(m≥3)线性相关，向量组α2，…，αm线性无关，试讨论αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示?

设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，x∈[a，b]，证明：(1)Fˊ(x)≥2；(2)方程F(x)＝0在区间(a，b)内有且仅有一个根．

利用函数的凹凸性，证明下列不等式：

证明：双曲线xy＝a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．

写出过点A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，4)的圆周方程．

求下列隐函数的指定偏导数：

已知三角形三个顶点坐标是A(2，－1，3)，B(1，2，3)，C(0，1，4)，求△ABC的面积．

已知函数试计算下列各题：(1)(2)(3)(4)

计算下列各题：(I)由方程xy=yx确定x=x(y)，求(Ⅱ)方程y-xey=1确定y=y(x)，求y’’．(Ⅲ)

计算下列各题：

某以太网需要在交换机之间采用端口聚集协议PAgP配置以太网通道（EthernetChannel），当交换机端口被配置成（）模式时，端口会主动发送PAgP分组，就以太网通道的使用情况进行协商。

实现内部控制目标的手段是设计和执行控制政策及程序。根据COSO发布的内部控制框架，内部控制包括的要素有()。

初步鉴定肠道致病菌与非致病菌最常使用的糖发酵试验是

叙述先天性肥厚性幽门狭窄的临床表现(包括症状、体征、X线检查)。

A、．湿热蕴结B、．气血瘀滞C、．肾阳亏虚D、．阴虚火旺E、．中气下陷急性前列腺增生症患者，症见：尿频、尿急、尿痛，会阴部胀痛，疼痛向大腿内侧放射，伴恶寒发热，口干口苦，舌红，苔黄腻，脉滑数。其证型是

在计算EVA资本时，要扣除的项目之一是()。

若x、y、z是三个连续的负整数，并且x＞y＞z。则下列表达式中属于正奇数的是：

哥特式建筑

Thesoundofgunshotshasbecomeanall-too-familiarandunwelcomeoccurrenceinmanycommunitiesacrossthenation.Whenshots