设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明： (1)为A-1的特征值； (2)为A的伴随矩阵A*的特征值。

admin2015-09-14 38

问题设λ为可逆方阵A的一个特征值，证明：
(1)

为A^-1的特征值；
(2)

为A的伴随矩阵A^*的特征值。

选项

答案由λ为A的特征值，知存在非零列向量x，使Ax=λx，由此知λ≠0，否则λ=0，则有Ax=0，[*]|A|=0，这与A可逆矛盾，故λ≠0．用A^-1左乘Ax=λx两端，再用[*]为A^-1的一个特征值且x为对应的特征向量。因A^-1=[*]为A^*的一个特征值且x为对应的特征向量。

解析

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