考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫02πdθ3rdz． (Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分； (Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分； (Ⅲ)求I的值．

admin2019-07-19 45

问题考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫₀^2πdθ

3rdz．
(Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；
(Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分；
(Ⅲ)求I的值．

选项

答案(Ⅰ)积分区域Ω：[*]，(x，y)∈D_xy，其中D_xy={(x，y)|x²+y²≤2}．于是 [*] (Ⅱ)Ω是由锥面z=[*](球坐标方程为φ=π／4)与上半球面z=[*](球坐标方程是ρ=2)围成．Ω的球坐标表示是：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4／－，0≤ρ≤2，于是 I=∫₀^2πdθ∫₀^π／4dφ∫₀²3ρ²sinφdρ． (Ⅲ)用球坐标最为方便． I=2π∫₀^π／4sinφdφ∫₀²3ρ²dρ=2π(－cosφ)|₀^π／4．ρ³|₀²=8(2－[*])π．

解析

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