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已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域.上的最大值和最小值.
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域.上的最大值和最小值.
admin
2012-04-22
38
问题
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2.求f(x,y)在椭圆域
.上的最大值和最小值.
选项
答案
(1)先求f(%,Y). 由dz=d(x
2
)-d(y
2
)=d(x
2
-y
2
)z=x
2
-y
2
+c; 由f(1,1)=2 c=2 z=f(x,y)=x
2
-y
2
+2. (2)求f(x,Y)在D内驻点及驻点处的函数值. [*] 得(x,y)=(0,0).唯一驻点(0,0),且f(0,0)=2. (3)求f(x,y)在D的边界y
2
=4(1-x
2
)上的最大值和最小值. 将y
2
=4(1-x
2
)(丨x丨≤1)代人z=x
2
-y
2
+2得 z(x)=x
2
-4(1-x
2
)+2=5x
2
-2 z’(x)=10x. z(0)=-2,z(±1)=3.z(x)在[-1,1]上.的最大值为3,最小值为-2. (4)比较(2),(3)中所得各点处的函数值即知: z=f(x,Y)在D上的最大值是max{2,3,-2}=3,最小值是min{2,3,-2}=-2.
解析
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考研数学三
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