过位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．

admin2022-11-02 73

问题过位于第一象限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．

选项

答案切线为y-y=y’(X-x)，令y=0得X=x-y/y’；法线为Y-y=-1/y’(X-x)，令X=0得Y=y+x/y’，由题意得x-y/y’=-y-x/y’，解得dy/dx=(y/x-1)/(y/x+1)，令u=y/x，代入得u+xdu/dx=(u-1)/(u+1)，变量分离得-(u+1)/(1+u²)du=dx/x，积分得-1/2ln(1+u²)-arctanu=lnx+C，当x=1时，u=0，得C=0，所以，所求曲线为-1/2ln(1+y²/x²)-arctany/x-lnx．即1/2ln(x²+y²)+arctany/x=0．

解析

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考研数学三

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