2. 考研
  3. 设λ0为A的特征值．证明：AT与A特征值相等；求A2，A2+2A+3E的特征值；若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

设λ0为A的特征值．证明：AT与A特征值相等；求A2，A2+2A+3E的特征值；若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

admin2022-11-08  51
问题 设λ0为A的特征值．证明：AT与A特征值相等；求A2，A2+2A+3E的特征值；若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．
选项
答案因为｜λE-AT｜=｜(λE-A)T｜=｜λE-A｜，所以AT与A的特征值相等．因为Aα=λ0α(α≠0)，所以A2α=λ0Aα=λ02α，(A2+2A+3E)α=(λ02+2λ0+3)α，于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3．因为｜A｜=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=1/λ0α，由A*Aα=｜A｜α得A*α=｜A｜/λ0α，又(E-A-1)α=(1-1/λ0)α，于是A-1，A*，E-A-1的特征值分别为1/λ0，｜A｜/λ0及1-1/λ0．
解析
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考研数学三

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