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设λ0为A的特征值.证明:AT与A特征值相等;求A2,A2+2A+3E的特征值;若|A|≠0,求A-1,A*,E-A-1的特征值.
设λ0为A的特征值.证明:AT与A特征值相等;求A2,A2+2A+3E的特征值;若|A|≠0,求A-1,A*,E-A-1的特征值.
admin
2022-11-08
72
问题
设λ
0
为A的特征值.证明:A
T
与A特征值相等;求A
2
,A
2
+2A+3E的特征值;若|A|≠0,求A
-1
,A
*
,E-A
-1
的特征值.
选项
答案
因为|λE-A
T
|=|(λE-A)
T
|=|λE-A|,所以A
T
与A的特征值相等.因为Aα=λ
0
α(α≠0),所以A
2
α=λ
0
Aα=λ
0
2
α,(A
2
+2A+3E)α=(λ
0
2
+2λ
0
+3)α,于是A
2
,A
2
+2A+3E的特征值分别为λ
0
2
,λ
0
2
+2λ
0
+3.因为|A|=λ
1
λ
2
…λ
n
≠0,所以λ
0
≠0,由Aα=λ
0
α得A
-1
α=1/λ
0
α,由A
*
Aα=|A|α得A
*
α=|A|/λ
0
α,又(E-A
-1
)α=(1-1/λ
0
)α,于是A
-1
,A
*
,E-A
-1
的特征值分别为1/λ
0
,|A|/λ
0
及1-1/λ
0
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cXgD777K
0
考研数学三
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