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设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP,其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论。
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP,其中 (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论。
admin
2015-09-14
59
问题
设
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算P
T
DP,其中
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B—C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论。
选项
答案
[*] (Ⅱ)矩阵B一C
T
A
-1
C是正定矩阵。证明如下: 由(Ⅰ)的结果可知,矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵。 因矩阵M为对称矩阵,故B一C
T
A
-1
C为对称矩阵。对[*]及任意的Y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
≠0,由M正定,有 [*] 即Y
T
(B—C
T
A
-1
C)Y>0.故B—C
T
A
-1
C为正定矩阵。
解析
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考研数学三
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