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  3. 设随机变量U在[－2，2]上服从均匀分布，记随机变量 求：(1)Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性； (2)D[X(1+Y)]．

设随机变量U在[－2，2]上服从均匀分布，记随机变量 求：(1)Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性； (2)D[X(1+Y)]．

admin2016-09-19  71
问题 设随机变量U在[－2，2]上服从均匀分布，记随机变量

求：(1)Cov(X，Y)，并判定X与Y的独立性；
(2)D[X(1+Y)]．
选项
答案(1)X，Y的全部可能取值都为－1，1，且 P｛X=－1，Y=－1｝=P｛U≤－1，U≤1｝=P｛U≤－1｝=[*]， P｛X=－1，Y=1｝=P｛U≤－1，U＞1｝=0， P｛X=1，Y=－1｝=P｛U＞－1，U≤1｝=P｛－1＜U≤1｝=[*]， P｛X=1，Y=1｝=P｛U＞－1，U＞1｝=P｛U＞1｝=[*]， 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 从而E(XY)=(－1)×(－1)×[*]+(－1)×1×0+1×(－1)×[*]=0． EX=(－1)×[*] 故Cov(X，Y)=E(XY)－EX.EY=0－[*]≠0．所以X与Y不独立． (2)D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X2Y)－2EXE(XY)． ① 其中EX=[*]． ② E(X2)=(－1)2×[*]． ③ 此外，由于XY及X2Y的分布律分别为 [*] 将②～⑥代入①得 D[X(1+Y)]=[*]
解析
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考研数学三

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