2. 考研
  3. 已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．

已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．

admin2016-10-20  72
问题 已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断：
    (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示；
    (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
选项
答案αm不能用αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，但能用αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示． 因为β可用αm能否用α1，α2，…，αm线性表示．可设 x1α1+x2α2+…+xmαm=β， (*) 则必有xm≠0，否则β可用α1，α2，…，αm-1线性表示，与已知矛盾．所以 αm=[*](β-x1α1-x2α2-…-xm-1αm-1)，即αm可由α1，α2，…，αm-1，β线性表示． 如αm=l1α1+l2α2+…+lm-1αm-1，代入(*)式知β=(x1+l1xm)α1+(x2+l1xm)α2+…+(xm-1+lm-1xm)αm-1与已知矛盾．即αm不能用α21，α2，…，αm-1线性表示． r(α1，α2，…，αm)=r(α1，α2，…，αm，β)； (1) 又因β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示，有 r(α1，α2，…，αm-1)+1=r(α1，α2，…，αm-1，β)． (2) 那么 r(α1，α2，…，αm)[*]r(α1，α2，…，αm，β) ≥r(α1，α2，…，αm-1，β) (整体≥局部) [*]r(α1，α2，…，αm-1)+1 ≥r(α1，α2，…，αm)． (想一下何时取大于号?何时取等号?) 从而r(α1，α2，…，αm-1，β)=r(α1，α2，…，αm，β)，r(α1，α2，…，αm-1)+1=r(α1，α2，…，αm)，即αm可α1，α2，…，αm-1，β线性表示，而αm不能由α1，α2，…，αm-1线性表示．
解析
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考研数学三

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