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已知β可用α1,α2,…,αm线性表示,但不能用α1,α2,…,αm-1表出,试判断: (Ⅰ)αm能否用α1,α2,…,αm-1,β线性表示; (Ⅱ)αm能否用α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
已知β可用α1,α2,…,αm线性表示,但不能用α1,α2,…,αm-1表出,试判断: (Ⅰ)αm能否用α1,α2,…,αm-1,β线性表示; (Ⅱ)αm能否用α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
admin
2016-10-20
65
问题
已知β可用α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但不能用α
1
,α
2
,…,α
m-1
表出,试判断:
(Ⅰ)α
m
能否用α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示;
(Ⅱ)α
m
能否用α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,并说明理由.
选项
答案
α
m
不能用α
m
能否用α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,但能用α
m
能否用α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示. 因为β可用α
m
能否用α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示.可设 x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
m
α
m
=β, (*) 则必有x
m
≠0,否则β可用α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,与已知矛盾.所以 α
m
=[*](β-x
1
α
1
-x
2
α
2
-…-x
m-1
α
m-1
),即α
m
可由α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示. 如α
m
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m-1
α
m-1
,代入(*)式知β=(x
1
+l
1
x
m
)α
1
+(x
2
+l
1
x
m
)α
2
+…+(x
m-1
+l
m-1
x
m
)α
m-1
与已知矛盾.即α
m
不能用α
21
,α
2
,…,α
m-1
线性表示. r(α
1
,α
2
,…,α
m
)=r(α
1
,α
2
,…,α
m
,β); (1) 又因β不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,有 r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
)+1=r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β). (2) 那么 r(α
1
,α
2
,…,α
m
)[*]r(α
1
,α
2
,…,α
m
,β) ≥r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β) (整体≥局部) [*]r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
)+1 ≥r(α
1
,α
2
,…,α
m
). (想一下何时取大于号?何时取等号?) 从而r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β)=r(α
1
,α
2
,…,α
m
,β),r(α
1
,α
2
,…,α
m-1
)+1=r(α
1
,α
2
,…,α
m
),即α
m
可α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示,而α
m
不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示.
解析
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考研数学三
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