求二元函数F(x,y)=xye一(x2)+y2在区域D={x,y)|x≥0,y≥0}上的最大值与最小值.

admin2016-07-29  44

问题 求二元函数F(x,y)=xye一(x2)+y2在区域D={x,y)|x≥0,y≥0}上的最大值与最小值.

选项

答案区域D在平面直角坐标系0xy上的第一象限,区域D有两条边界Γ1={(x,0)|x≥0}与Γ2{(0,y)|y≥0},它们分别是平面直角坐标系0xy的x轴与y轴的正半轴.在这两条边界上F(x,y)=0.又因 [*] 由于当x2+y2→+∞时[*]|F(x,y)|=0,于是[*] 在区域D内,由于 [*] 仅有唯一解(x,y)=[*] 这表明F(x,y)在区域D内仅有唯一驻点[*]在此点处[*] 注意[*]比F(x,y)在D的两条边界上的函数值以及当(x,y)在区域内趋向无限远处函数F(x,y)的极限值都要大,可见[*]是F(x,y)在D上的最大值.又因在D上F(x,y)非负,所以其最小值在x轴与y轴的正半轴上取到,即F(x,y)在D上的最小值为0.

解析
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