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设函数,数列{xn}满足0<x1<1且xn+1=f(xn)。 (Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上有且只有一个零点; (Ⅱ)数列{xn}是否收敛,若收敛,求出极限;若不收敛,请说明理由。
设函数,数列{xn}满足0<x1<1且xn+1=f(xn)。 (Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上有且只有一个零点; (Ⅱ)数列{xn}是否收敛,若收敛,求出极限;若不收敛,请说明理由。
admin
2016-02-27
76
问题
设函数
,数列{x
n
}满足0<x
1
<1且x
n+1
=f(x
n
)。
(Ⅰ)证明f(x)在(-1,1)上有且只有一个零点;
(Ⅱ)数列{x
n
}是否收敛,若收敛,求出极限
;若不收敛,请说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)注意到函数f(x)是偶函数,故只需讨论f(x)在[0,1)上零点的情况: 设0≤x<1,因[*], 所以函数f(x)单调递增,而f(0)=0,f(1)=1,故0≤f(x)<1且f(x)有且只有一个零点,该零点就是x=0。 由对称性可知,在(-1,0)上f(x)不存在零点,故f(x)在(-1,1)上有且只有一个零点。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,0<x
n
<1,n=1,2,3,…。 x
n+1
-x
n
=f(x
n
)-x
n
[*] 故{x
n
}单调递减有界,所以收敛。 在x
n+1
=1-[*] 两边同时取极限,得[*](舍去,因为{x
n
}单调递减)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dubD777K
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考研数学二
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