2. 考研
  3. 设函数，数列{xn}满足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。 (Ⅰ)证明f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点； (Ⅱ)数列{xn}是否收敛，若收敛，求出极限；若不收敛，请说明理由。

设函数，数列{xn}满足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。 (Ⅰ)证明f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点； (Ⅱ)数列{xn}是否收敛，若收敛，求出极限；若不收敛，请说明理由。

admin2016-02-27  103
问题 设函数，数列{xn}满足0＜x1＜1且xn+1=f(xn)。
(Ⅰ)证明f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点；
(Ⅱ)数列{xn}是否收敛，若收敛，求出极限；若不收敛，请说明理由。
选项
答案(Ⅰ)注意到函数f(x)是偶函数，故只需讨论f(x)在[0，1)上零点的情况： 设0≤x＜1，因[*]， 所以函数f(x)单调递增，而f(0)=0，f(1)=1，故0≤f(x)＜1且f(x)有且只有一个零点，该零点就是x=0。 由对称性可知，在(-1，0)上f(x)不存在零点，故f(x)在(-1，1)上有且只有一个零点。 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，0＜xn＜1，n=1，2，3，…。 xn+1-xn=f(xn)-xn [*] 故{xn}单调递减有界，所以收敛。 在xn+1=1-[*] 两边同时取极限，得[*](舍去，因为{xn}单调递减)。
解析
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考研数学二

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