没f(x)是单调减函数，满足f(0)=1．若F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数，且F(x)G(x)≡一1，则f(x)=____________．

admin2014-02-06 56

问题没f(x)是单调减函数，满足f(0)=1．若F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是

的一个原函数，且F(x)G(x)≡一1，则f(x)=____________．

选项

答案e^-x．

解析将恒等式F(x)G(x)≡一1两端求导数，得F^’(x)G(x)+F(x)G^’(x)=0，把

代入E式并化简，有

分别积分可得F(x)=C₁e^x或F(x)=C₁e^-x，求导数即得f(x)=C₁e^x或f(x)=一C₂e^x，利用f(0)=1，可确定由于C₁=1，C₂=一1，于是f(x)=e^x或f(x)=e^-x，结合f(x)是单调减函数，故可确定f(x)=e^-x．

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