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设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. 证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. 证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
admin
2013-03-17
44
问题
设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
其中A
*
是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是α
T
A
-1
α≠b.
选项
答案
用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式,有 [*] =丨A丨
2
(b-α
T
A
-1
α). 又因A可逆,丨A丨≠0.故丨Q丨=丨A丨(b-α
T
A
-1
α). 由此可知Q可逆的充分必要条件是b-α
T
A
-1
α≠0 即α
T
A
-1
α≠b.
解析
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考研数学三
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