设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2013-03-17 57

问题设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A^*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

选项

答案用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有 [*] =丨A丨²(b-α^TA^-1α)．又因A可逆，丨A丨≠0．故丨Q丨=丨A丨(b-α^TA^-1α)．由此可知Q可逆的充分必要条件是b-α^TA^-1α≠0 即α^TA^-1α≠b．

解析

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考研数学三

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