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设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数. (1)证明存在c∈(0,1).使得在区间[0,f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积; (2)设f(x)在(0,1)内可导,且,证明(1)中的
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数. (1)证明存在c∈(0,1).使得在区间[0,f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积; (2)设f(x)在(0,1)内可导,且,证明(1)中的
admin
2015-06-26
117
问题
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.
(1)证明存在c∈(0,1).使得在区间[0,f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积;
(2)设f(x)在(0,1)内可导,且
,证明(1)中的c是唯一的.
选项
答案
(1)S
1
(c)=cf(c),S
2
(c)= ∫
c
1
f(t)dt=一∫
1
c
(t)dt,即证明S
1
(c) S
2
(c),或cf(c)+ ∫
1
c
f(t)dt=0.令φ(x)=x∫
1
x
f f(t)dt,φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈ (0,1),使得φ’(c)=0,即cf(c)+ ∫
1
c
f(t)dt=0,所以S
1
(c)=S
2
(c),命题得证. (2)令h(x)=xf(x)一∫
x
1
(f)dt,因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)>0,所以h(x)在[0,1]上为单调函数,所以(1)中的f是唯一的.
解析
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考研数学三
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