2. 考研
  3. 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)．使得在区间[0，f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且，证明(1)中的

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数． (1)证明存在c∈(0，1)．使得在区间[0，f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积； (2)设f(x)在(0，1)内可导，且，证明(1)中的

admin2015-06-26  119
问题 设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
    (1)证明存在c∈(0，1)．使得在区间[0，f]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
    (2)设f(x)在(0，1)内可导，且，证明(1)中的c是唯一的．
选项
答案(1)S1 (c)=cf(c)，S2 (c)= ∫c1 f(t)dt=一∫1c (t)dt，即证明S1 (c) S2 (c)，或cf(c)+ ∫1cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫1xf f(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈ (0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+ ∫1cf(t)dt=0，所以S1 (c)=S2 (c)，命题得证． (2)令h(x)=xf(x)一∫x1 (f)dt，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的f是唯一的．
解析
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考研数学三

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