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已知实二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A满足|A-E|=0,且ξ1=(1,2,1)T,ξ2=(1,-1,1)T是齐次线性方程组Aχ=0一个基础解系. (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,写出所用的正交变换和所得的标准形, (Ⅱ
已知实二次型f(χ1,χ2,χ3)=χTAχ的矩阵A满足|A-E|=0,且ξ1=(1,2,1)T,ξ2=(1,-1,1)T是齐次线性方程组Aχ=0一个基础解系. (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,写出所用的正交变换和所得的标准形, (Ⅱ
admin
2016-03-16
60
问题
已知实二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
Aχ的矩阵A满足|
A-E|=0,且ξ
1
=(1,2,1)
T
,ξ
2
=(1,-1,1)
T
是齐次线性方程组Aχ=0一个基础解系.
(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形,写出所用的正交变换和所得的标准形,
(Ⅱ)求出该二次型.
选项
答案
(Ⅰ)由题意知A的特征值为λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=2. 设考ξ
3
为A的属于特征值λ
3
=2的特征值,则ξ
3
分别与ξ
1
,ξ
2
正交,记ξ
3
=(t
1
,t
2
,t
3
)
T
,有[*]故可取t
1
=1,t
2
=,t
3
=-1,即考ξ
3
(1,0,-1)
T
.此时ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
为正交向量组,记 [*] 则Q为正交矩阵,且 [*] 所以在正交变换χ=Qy下,f=2y
3
2
. (Ⅱ)由χ=Qy,得y=Q
T
,即 [*] 得y
3
=[*](χ
1
-χ
3
),所以 [*]
解析
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考研数学二
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