2. 考研
  3. 已知实二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A满足｜A－E｜＝0，且ξ1＝(1，2，1)T，ξ2＝(1，－1，1)T是齐次线性方程组Aχ＝0一个基础解系． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形， (Ⅱ

已知实二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A满足｜A－E｜＝0，且ξ1＝(1，2，1)T，ξ2＝(1，－1，1)T是齐次线性方程组Aχ＝0一个基础解系． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形， (Ⅱ

admin2016-03-16  59
问题 已知实二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的矩阵A满足｜A－E｜＝0，且ξ1＝(1，2，1)T，ξ2＝(1，－1，1)T是齐次线性方程组Aχ＝0一个基础解系．
    (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形，
    (Ⅱ)求出该二次型．
选项
答案(Ⅰ)由题意知A的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝2． 设考ξ3为A的属于特征值λ3＝2的特征值，则ξ3分别与ξ1，ξ2正交，记ξ3＝(t1，t2，t3)T，有[*]故可取t1＝1，t2＝，t3＝－1，即考ξ3(1，0，－1)T．此时ξ1，ξ2，ξ3为正交向量组，记 [*] 则Q为正交矩阵，且 [*] 所以在正交变换χ＝Qy下，f＝2y32． (Ⅱ)由χ＝Qy，得y＝QT，即 [*] 得y3＝[*](χ1－χ3)，所以 [*]
解析
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考研数学二

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