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设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的,即U=xαyβ,商品x和商品y的价格分别为Px和Py,消费者的收入为M,α和β为常数,且α+β=1。 (1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。 (2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例
设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的,即U=xαyβ,商品x和商品y的价格分别为Px和Py,消费者的收入为M,α和β为常数,且α+β=1。 (1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。 (2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例
admin
2017-07-23
41
问题
设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的,即U=x
α
y
β
,商品x和商品y的价格分别为P
x
和P
y
,消费者的收入为M,α和β为常数,且α+β=1。
(1)求该消费者关于商品x和品y的需求函数。
(2)证明当商品x和y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,消费者对两种商品的需求关系维持不变。
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。
选项
答案
(1)由消费者的效用函数U=x
α
y
β
,算得: [*] 消费者的预算约束方程为P
x
x+P
y
y=M ① 根据消费者效用最大化的均衡条件 [*] 解方程组③,可得 x=αM/P
x
④ y=βM/P
y
⑤ 式④、⑤即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 (2)商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例,相当于消费者的预算线变为 λP
x
x+λP
y
y=λM ⑥ 其中λ为非零常数。 此时消费者效用最大化的均衡条件变为 [*] 由于λ≠0,故方程组⑦化为 [*] 显然,方程组⑧就是方程组③,故其解就是式④和式⑤。 这表明,消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。 (3)由消费者的需求函数④和⑤,可得 α=P
x
x/M ⑨ β=P
y
y/M ⑩ 关系⑨的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额,关系⑩的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
解析
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