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已知二次型f(x1,x2,x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
已知二次型f(x1,x2,x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形; (Ⅲ)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
admin
2016-10-20
56
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
2
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
(Ⅲ)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵A=[*].二次型的秩为2,即二次型矩阵A的秩为2, 从而 |A|=[*]=-8a=0,解得a=0. (Ⅱ)当a=0时,A=[*],由特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
, 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 当λ=2时,由(2E-A)x=0,[*] 得特征向量α
1
=(1.1.0)
T
.α
2
=(0,0,1)
T
. 当λ=0时,由(0E-A)x=0,[*],得特征向量α
3
=(1,-1,0)
T
. 容易看出,α
1
,α
2
,α
3
已两两正交,故只需将它们单位化: [*] (Ⅲ)由f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0,得[*] 所以方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的通解为:k(1,-1,0)
T
,其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/faT4777K
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考研数学三
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