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已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
admin
2016-10-20
57
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
2
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解．
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵A=[*]．二次型的秩为2，即二次型矩阵A的秩为2， 从而 ｜A｜=[*]=-8a=0，解得a=0． (Ⅱ)当a=0时，A=[*]，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
， 得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0． 当λ=2时，由(2E-A)x=0，[*] 得特征向量α
1
=(1．1．0)
T
．α
2
=(0，0，1)
T
． 当λ=0时，由(0E-A)x=0，[*]，得特征向量α
3
=(1，-1，0)
T
． 容易看出，α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： [*] (Ⅲ)由f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
=0，得[*] 所以方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的通解为：k(1，-1，0)
T
，其中k为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/faT4777K
0
考研数学三
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