设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．

admin2019-03-07 21

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf^’(ξ)+kf(ξ)=f^’(ξ)．

选项

答案xf^’(x)+kf(x)=f^’(x)，整理得，(x一1)f^’(x)=一kf(x)，分离变量得[*]，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C₁，整理得lnf(x)(1一x)^k=C₁，即f(x)(1一x)^k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)^k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F^’(ξ)=0，即ξf^’(ξ)+kf(ξ)=f^’(ξ)．

解析

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