2. 考研
  3. 设三阶矩阵A=[α1，α2，α3]有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2； 若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

设三阶矩阵A=[α1，α2，α3]有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． 证明r(A)=2； 若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2022-11-28  9
问题 设三阶矩阵A=[α1，α2，α3]有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
证明r(A)=2；
若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
选项
答案(Ⅰ)由α3=α1+2α2，可得α1+2α2-α3=0，可知α1，α2，α3线性相关． 　因此可知r(A)≤2，且丨A丨=0，即A的特征值中必有0． 　又A有三个不同的特征值，因此另外两个特征值非0，从而r(A)≥2． 　因此r(A)=2，问题得证． 由(Ⅰ)中r(A)=2，得3-r(A)=1，可知Ax=0的基础解系只有1个解向量． 　[*]
解析
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考研数学三

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