设x∈(0，1)，证明： (1+x)ln2(1+x)

admin2012-02-21 22

问题设x∈(0，1)，证明：
(1+x)ln²(1+x)2

选项

答案令f(x)=x²-(1+x)ln²(1+x)，则f(0)=0，且 f’(x)=2x-ln²(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0， f"(x)=2-[2ln(1+x)]/(1+x)-1/(1+x)=2/(1+x)[x-ln(1+x)]．当x≥0时令g(x)=x-ln(1+x)，由g(0)=0与g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0(x>0)可知g(x) 在x≥0单调增加，从而g(x)>g(0)=0对∨x>0成立．这表明f"(x)>0对∨x>0成立，于是f’(x) 在x≥0单调增加，从而f’(x)>f’(0)=0当x>0时成立，由此即得f(x)在[0，+∞)单调增加，故 f(x)>f(0)对∨x>0成立，t!ll不等式(I)在(0，1)成立．

解析

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