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设x∈(0,1),证明: (1+x)ln2(1+x)
设x∈(0,1),证明: (1+x)ln2(1+x)
admin
2012-02-21
25
问题
设x∈(0,1),证明:
(1+x)ln
2
(1+x)
2
选项
答案
令f(x)=x
2
-(1+x)ln
2
(1+x),则f(0)=0,且 f’(x)=2x-ln
2
(1+x)-2ln(1+x),f’(0)=0, f"(x)=2-[2ln(1+x)]/(1+x)-1/(1+x)=2/(1+x)[x-ln(1+x)]. 当x≥0时令g(x)=x-ln(1+x),由g(0)=0与g’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0(x>0)可知g(x) 在x≥0单调增加,从而g(x)>g(0)=0对∨x>0成立.这表明f"(x)>0对∨x>0成立,于是f’(x) 在x≥0单调增加,从而f’(x)>f’(0)=0当x>0时成立,由此即得f(x)在[0,+∞)单调增加,故 f(x)>f(0)对∨x>0成立,t!ll不等式(I)在(0,1)成立.
解析
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考研数学三
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