2. 计算机
  3. 阅读下列说明和C代码，回答以下问题，将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法

阅读下列说明和C代码，回答以下问题，将解答写在答题纸的对应栏内。 【说明】 某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。 两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法

admin2014-05-07  55
问题 阅读下列说明和C代码，回答以下问题，将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】
    某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。
    两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am×n*Bn×p，需要m*n*p次乘法运算。
    矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100，A2100×5，A35×50三个矩阵相乘为例，若按(A1*A2)*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按A1*(A2*．A3)计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
    矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵，矩阵Ai的维数为pi-1×pi，其中i=1，2，…，n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
    由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*…*Ak和Ak+1*Ak+2*…*An两个子问题，则该最优解应该包含A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和Ak+1*Ak+2*…*An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，
  
  其中，cost[j]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
    算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵……n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的C语言实现。
  (1)主要变量说明
    n：矩阵数
  seq[]：矩阵维数序列
  cost[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素costD]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算的计算代价
    trace[][]：二维数组，长度为n*n，其中元素tmceU]表示Ai+1*Ai+2*…*Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k
    (2)函数cmnl
    #define    N 100
    int cost[N][N]；
    int trace[N][N]；
    int cmm(int n，int seq[]){
    int tempCost；
    int tempTrace；
    int i ， j ， k， p；
    int temp；
    for(i=0；i=0；    )
    for(p=1；P    for(i=0；    (1)  ；i++){
    (2)    ；
    tempCost=-1；
    for(k=i；  k    temp=  (3)  ；
    if(tempCost==-1 I I tempCost>temp){
    tempCost=temp；
    (4)；
    }
    }
    cost[J]=tempCost；
    trace[J]=tempTrace；
    }
    }
    return cost[0][n-1]；
    }
考虑实例n=6，各个矩阵的维数：A1为5*10，A2为10*3，A3为3*12，A4为12*5， A5为5*50，A6为50*6，即维数序列为5，10，3，12，5，50，6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为(7)(用加括号方式表示计算顺序)，所需要的乘法运算次数为(8)。
选项
答案(7)((A1 A2)((A3 A4)(A5 A6))) (8)2010
解析 本问题考查算法的应用。通过一个具体实例可以更容易理解问题和求解方法。可以根据问题1中的程序执行来求解。启发式的思路是先把维度最大的消掉，如A5*A6相乘之后，维度50就没有了，所以考虑这两个矩阵先相乘；然后是A3*A4相乘之后，维度12就没有了，所以考虑这两个矩阵相乘；接着，A1*A2相乘之后，维度10就没有了，所以考虑这两个矩阵相乘……这样可以确定相乘的顺序((A1A2)((A3A4)(A5A6)))，需要的计算开销分别是5*50*6=1500，3*12*5=180，5*10*3=150，3*5*6=90，5*3*6=90，把上述值相加，即1500+180+150+90+90=2010。
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