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设A是n阶矩阵,a1,a2,…,an是n维列向量,其中an≠0,若Aa1=a2,Aa2=a3,…,Aan一1=an,Aan=0. (Ⅰ)证明a1,a2,…,an线性无关; (Ⅱ)求A的特征值、特征向量.
设A是n阶矩阵,a1,a2,…,an是n维列向量,其中an≠0,若Aa1=a2,Aa2=a3,…,Aan一1=an,Aan=0. (Ⅰ)证明a1,a2,…,an线性无关; (Ⅱ)求A的特征值、特征向量.
admin
2015-12-22
45
问题
设A是n阶矩阵,a
1
,a
2
,…,a
n
是n维列向量,其中a
n
≠0,若Aa
1
=a
2
,Aa
2
=a
3
,…,Aa
n一1
=a
n
,Aa
n
=0.
(Ⅰ)证明a
1
,a
2
,…,a
n
线性无关;
(Ⅱ)求A的特征值、特征向量.
选项
答案
(1)利用线性无关的定义证之;(2)利用相关矩阵的性质求之. 解 (1)令 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0. ① 由题设 Aα
1
=α
2
, Aα
2
=α
3
, …, Aα
n一1
=α
n
, 有 A
n
α
1
=A
n一1
α
2
=…=Aa
n
=0. 将A
n一1
左乘式①,得k
1
α
n
=0.由于α
n
≠0,故k
1
=0. 再依次用A
n一2
,A
n一3
,…乘式①,可得 k
2
=k
3
=…=k
n
=0, 所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关. (2)由于 A[α
1
,α
2
,…,α
n
]=[α
2
,α
3
,…,α
n
,0] [*] 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,矩阵[α
1
,α
2
,…,α
n
]可逆,从而 [*] 得知A的特征值全为0.又因 秩(A)=秩(B)=n一1, 所以Ax=0的基础解系由n一秩(A)=1个向量组成,由Aα
n
=0·α
n
知,A的线性无关的特征向量为α
n
,全部特征向量为kα
n
,k≠0为任意常数.
解析
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考研数学二
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