设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

admin2015-12-22 70

问题设A是n阶矩阵，a₁，a₂，…，a_n是n维列向量，其中a_n≠0，若Aa₁=a₂，Aa₂=a₃，…，Aa_n一1=a_n，Aa_n=0．
(Ⅰ)证明a₁，a₂，…，a_n线性无关；
(Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

选项

答案(1)利用线性无关的定义证之；(2)利用相关矩阵的性质求之．解 (1)令 k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0． ① 由题设 Aα₁=α₂， Aα₂=α₃， …， Aα_n一1=α_n，有 Aⁿα₁=A^n一1α₂=…=Aa_n=0．将A^n一1左乘式①，得k₁α_n=0．由于α_n≠0，故k₁=0．再依次用A^n一2，A^n一3，…乘式①，可得 k₂=k₃=…=k_n=0，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关． (2)由于 A[α₁，α₂，…，α_n]=[α₂，α₃，…，α_n，0] [*] 因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，矩阵[α₁，α₂，…，α_n]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0．又因秩(A)=秩(B)=n一1，所以Ax=0的基础解系由n一秩(A)=1个向量组成，由Aα_n=0·α_n知，A的线性无关的特征向量为α_n，全部特征向量为kα_n，k≠0为任意常数．

解析

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考研数学二

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设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

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