设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

admin2015-12-22 29

问题设A是n阶矩阵，a₁，a₂，…，a_n是n维列向量，其中a_n≠0，若Aa₁=a₂，Aa₂=a₃，…，Aa_n一1=a_n，Aa_n=0．
(Ⅰ)证明a₁，a₂，…，a_n线性无关；
(Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

选项

答案(1)利用线性无关的定义证之；(2)利用相关矩阵的性质求之．解 (1)令 k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0． ① 由题设 Aα₁=α₂， Aα₂=α₃， …， Aα_n一1=α_n，有 Aⁿα₁=A^n一1α₂=…=Aa_n=0．将A^n一1左乘式①，得k₁α_n=0．由于α_n≠0，故k₁=0．再依次用A^n一2，A^n一3，…乘式①，可得 k₂=k₃=…=k_n=0，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关． (2)由于 A[α₁，α₂，…，α_n]=[α₂，α₃，…，α_n，0] [*] 因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，矩阵[α₁，α₂，…，α_n]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0．又因秩(A)=秩(B)=n一1，所以Ax=0的基础解系由n一秩(A)=1个向量组成，由Aα_n=0·α_n知，A的线性无关的特征向量为α_n，全部特征向量为kα_n，k≠0为任意常数．

解析

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考研数学二

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设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

考研数学二

中国古代用“伉俪”指()。

某单位收发员为收集邮票，故意隐匿、毁弃他人信件，其行为侵犯了宪法规定的公民的哪项权利?()

两工厂各加工480件产品，甲工厂每天比乙工厂多加工4件，完成任务所需时间比乙工厂少10天，设甲工厂每天加工产品x件，则x满足的方程为()。

某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环(10次射击，每次射击环数只取1一10中的正整数)。如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环?

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QX，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化为标准形.

设f(χ)在[1，＋∞)上连续，若曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体的体积为V(t)＝[t2f(t)－f(1)]且f(2)＝，求函数y＝f(χ)的表达式．

设.(Ⅰ)当a，b为何值时，β不可由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)当a，b为何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，写出表达式．

翳明穴的定位是翳风穴()。

A、银翘散B、新加香薷饮C、羚角钩藤汤D、黄连解毒汤E、安宫牛黄丸首选用于治疗急惊风风热致惊证的方剂是

甲乙丙三人出资10万元设立“星光科技开发有限责任公司”，其中甲出资2万元，乙出资3万元，丙出资5万元。公司成立后，召开了第一次股东会。下列有关这次股东会的情况，哪些不符合公司法的规定?()。

下列关于防火墙的叙述中，错误的是()。

在进口设备抵岸价计算中，关税计算是以()为计费基数。

对个人购买福利彩票、赈灾彩票、体育彩票，一次性中奖收入在1万元以下的(含1万元)，暂免征收个人所得税，超过1万元的，按超出部分计算征收个人所得税。()

大盘山国家级自然保护区位于浙江省的()县境内。

下列各句中，下划线的词语使用恰当的一句是(　　)

在克隆羊的培育过程中，某只白细毛公羊提供了细胞核，某只黑细毛羊提供了去核卵细胞，某只白粗毛羊进行代孕，那么克隆羊的体表的毛和性别分别为：

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