若n阶矩阵A满足方程A2－2A+E=O，则下列结论不正确的是( )．

admin2022-06-15 21

问题若n阶矩阵A满足方程A²－2A+E=O，则下列结论不正确的是( )．

选项 A、A非奇异
B、A－2E非奇异
C、A+E非奇异
D、A=E

答案D

解析将矩阵方程整理为A(2E－A)=E，两边取行列式
|A||2E－A|=|E|=1≠0，
从而有|A|≠0，{2E－A}≠0，知A，A－2E非奇异．类似地，将矩阵方程整理为
(A+E)(A－3E)=－4E，
两边取行列式
|A+E||A－3E|=|－4E|=(－4)ⁿ≠0，
从而有|A+E|≠0，|A－3E|≠0，知A+E，A－3E非奇异．
综上，知选项A，B，C均正确．由排除法，故选D．

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